Формула по вашим данным
—
Геометрия · стороны и углы
Калькулятор треугольника
Найдите недостающие стороны, углы в градусах, площадь и периметр треугольника: прямоугольного — по двум катетам, катету и гипотенузе или катету и углу, произвольного — по трём сторонам.
Живая схема
—Треугольник в масштабе
Сторона a лежит в основании, угол γ — между сторонами a и b, угол α — против стороны a, β — против стороны b. Пропорции и углы меняются по вашим данным; прямой угол отмечен квадратом.
Как найти гипотенузу и углы прямоугольного треугольника?
Гипотенуза по теореме Пифагора: c = √(a² + b²), острый угол — α = arctg(a ÷ b), второй угол — 90° − α, площадь — a × b ÷ 2. Катеты 3 и 4 м: c = √(9 + 16) = 5 м, углы 36,87° и 53,13°, площадь 6 м². Длина стропила при заложении 4 м и уклоне 30°: 4 ÷ cos 30° = 4,619 м.
Формулы треугольника
Прямоугольный треугольник. Катеты a и b образуют прямой угол, гипотенуза c лежит против него: c² = a² + b². Отсюда c = √(a² + b²) и b = √(c² − a²). Если известны катет a и прилежащий к нему угол β, то c = a ÷ cos β и b = a × tg β. Площадь — S = a × b ÷ 2, высота на гипотенузу — a × b ÷ c.
Произвольный треугольник по трём сторонам. Углы находят по теореме косинусов: cos γ = (a² + b² − c²) ÷ (2ab), остальные — так же, а их сумма всегда 180°. Площадь — по формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр. Треугольник существует, только если каждая сторона меньше суммы двух других.
На стройке треугольник нужен чаще, чем кажется: длина стропила — это гипотенуза, где катеты — заложение и подъём; откос и пандус задают отношением высоты к заложению; прямой угол фундамента или стены проверяют диагональю по правилу 3–4–5.
Калькулятор считает геометрию по введённым размерам. Длина стропила здесь — без свеса и запилов: их добавляют отдельно, а сечение стропил подбирают по нагрузкам. Для других фигур используйте калькулятор площади.
Выберите случайПрямоугольный или по трём сторонам.
Введите данныеСтороны в метрах, угол — в градусах.
Получите всёСтороны, углы, площадь, периметр.
Проверяемые примеры
Примеры расчёта треугольника
Нажмите «Подставить пример», чтобы увидеть тот же расчёт в калькуляторе со схемой.
Гипотенуза по катетам 3 и 4 м
c = √(3² + 4²) = √25 = 5 м; α = arctg(3 ÷ 4) = 36,87°, β = 53,13°; S = 3 × 4 ÷ 2 = 6 м²
Стропило: заложение 3 м, уклон крыши 30°
c = 3 ÷ cos 30° = 3,464 м; подъём b = 3 × tg 30° = 1,732 м
Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 м
p = 9; S = √(9 × 4 × 3 × 2) = 14,697 м²; углы 44,42°, 57,12° и 78,46°
Справочная таблица
Прямоугольные треугольники для разметки и откосов
Гипотенуза, углы и площадь для типовых катетов. Тройки 3–4–5, 6–8–10 и 5–12–13 дают целую гипотенузу — по ним удобно размечать прямой угол рулеткой.
| Катеты a × b | Гипотенуза c | Угол α | Угол β | Площадь |
|---|---|---|---|---|
| 3 × 4 м | 5 м | 36,87° | 53,13° | 6 м² |
| 6 × 8 м | 10 м | 36,87° | 53,13° | 24 м² |
| 5 × 12 м | 13 м | 22,62° | 67,38° | 30 м² |
| 1 × 1 м | 1,414 м | 45° | 45° | 0,5 м² |
| 2 × 1 м (откос 1 : 2) | 2,236 м | 63,43° | 26,57° | 1 м² |
| 1,5 × 2 м | 2,5 м | 36,87° | 53,13° | 1,5 м² |
α = arctg(a ÷ b) — угол против катета a; β = 90° − α.
Что проверить перед разметкой
01
Какой угол известен
Угол β в калькуляторе — между катетом a и гипотенузой. Для стропила это угол наклона крыши к горизонтали, а не угол у конька.
02
Заложение, а не длина ската
Катет a для стропила и откоса — горизонтальная проекция. Длину по скату калькулятор найдёт сам как гипотенузу.
03
Длинные стороны для разметки
Для проверки угла фундамента берите 6–8–10 или 9–12–15 м вместо 3–4–5: ошибка в сантиметр на длинной диагонали меньше искажает угол.
04
Свес и подрезка
Гипотенуза — чистая геометрическая длина. К стропилу добавьте свес карниза и запас на запилы, к откосу — заделку в грунт.
Частые вопросы
Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника?
По теореме Пифагора: c = √(a² + b²), где a и b — катеты. Для катетов 6 и 8 м гипотенуза равна √(36 + 64) = 10 м.
Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?
Второй катет равен √(c² − a²). При гипотенузе 13 м и катете 5 м он составляет √(169 − 25) = 12 м.
Как найти углы треугольника по трём сторонам?
По теореме косинусов: cos γ = (a² + b² − c²) ÷ (2ab), аналогично для двух других углов, а сумма всех углов — 180°. У треугольника со сторонами 5, 6 и 7 м углы 44,42°, 57,12° и 78,46°.
Как найти площадь треугольника по трём сторонам?
По формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр. Для сторон 5, 6 и 7 м p = 9 и S = √(9 × 4 × 3 × 2) ≈ 14,697 м².
Как найти площадь прямоугольного треугольника?
Площадь равна половине произведения катетов: S = a × b ÷ 2. Треугольник с катетами 3 и 4 м имеет площадь 6 м².
Как найти угол прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе?
Синус угла против катета равен отношению катета к гипотенузе: α = arcsin(a ÷ c). При катете 3 м и гипотенузе 5 м угол равен 36,87°, второй острый угол — 53,13°.
Как проверить прямой угол по правилу 3-4-5?
Отложите от угла 3 м по одной стороне и 4 м по другой: при прямом угле расстояние между метками ровно 5 м. Если диагональ 5,02 м, угол уже 90,48° — его нужно поправить.
Как рассчитать длину стропила по углу наклона крыши?
Длина стропила без свеса — гипотенуза: заложение ÷ cos угла наклона. При заложении 3 м и уклоне 30° это 3 ÷ cos 30° ≈ 3,464 м, а подъём к коньку — 3 × tg 30° ≈ 1,732 м.
Как посчитать длину и угол откоса 1 к 2?
Откос 1 : 2 — это 1 м высоты на 2 м заложения, длина по откосу √(1² + 2²) ≈ 2,236 м. Угол наклона к горизонтали — arctg(1 ÷ 2) ≈ 26,57°.
Может ли существовать треугольник со сторонами 2, 3 и 6 м?
Нет: по неравенству треугольника каждая сторона должна быть меньше суммы двух других, а 2 + 3 = 5 меньше 6. Калькулятор в таком случае не считает и просит проверить размеры.